Makrohiukkasiin sovellettavat matemaattiset kaavat ja säännöt eivät välttämättä sovellu mikrohiukkasten käyttäytymistä tutkittaessa. Tällaisten ongelmien ratkaisemiseen on suunniteltu erilaisia matemaattisia lähestymistapoja, ja sekä Euler- että Lagrangian lähestymistapoja käytetään analysoitaessa ja ratkaistaessa tällaisia mikromittakaavan hiukkasten matemaattisia ongelmia.
Eulerian vs Lagrangian
Suurin ero Eulerin ja Lagrangin välillä on se, että Eulerin menetelmässä kiinnitetään enemmän huomiota ohjaustilavuuden virtausominaisuuksiin tilan ja ajan funktioiden suhteen. Lagrangian menetelmässä virtaustilavuuden oletetaan muodostuvan suuresta määrästä hiukkasia ja yksittäisiin hiukkasiin kiinnitetään enemmän huomiota.
Eulerin matemaattista lähestymistapaa käytetään ratkaisemaan matemaattisia ongelmia, joihin liittyy nestevirtaus tai hiukkastilavuuden virtaus. Virtausta käsitellään sekä tilan että ajan funktiona ja virtauksen eri ominaisuuksia, kuten lämpötilaa, kirjataan ja tutkitaan. Tässä lähestymistavassa keskitytään enemmän todelliseen virtaukseen.
Lagrangian lähestymistapa katsoo, että nestevirtaus koostuu suuresta määrästä hiukkasia. Tässä lähestymistavassa nestevirtausta tutkitaan tutkimalla yksittäisiä hiukkasia, määrittelemällä virtauksen ominaisuudet, kuten hiukkasten liikkeen suunta ja nopeus. Siten hiukkasia seurataan niiden liikkuessa virtaustilavuuden läpi.
Vertailutaulukko Eulerian ja Lagrangian välillä
| Vertailuparametrit | Eulerian | Lagrangian |
| Määritelmä | Leonhard Euler ehdotti matemaattista lähestymistapaa hiukkasten virtauksen tutkimiseen | Louis Lagrange ehdotti matemaattista lähestymistapaa hiukkasten virtauksen tutkimiseen |
| Keskittyminen | Painopiste on virtausominaisuuksissa kiinteässä pisteessä | Tarkennus annetaan yksittäiselle hiukkaselle määrittelemällä sen ominaisuudet |
| Lähestyä | Tarkkailupiste on kiinteä ja vain muutokset nestevirtauksessa havaitaan | Havaintopiste muuttuu kiinteistöjen arvon muuttuessa eri paikoissa |
| Menetelmä | Virtaus kuvataan tilan ja ajan funktiona eri ominaisuuksilla | Virtaus kuvataan yksittäisillä hiukkasilla, joilla on tunnusomaisia ominaisuuksia |
| Käyttö | Euler-lähestymistapaa käytetään hyvin yleisesti | Lagrangian lähestymistapaa ei yleisesti käytetä |
Mikä on Eulerian?
Leonhard Eulerin ehdottama matemaattinen lähestymistapa tilavuuteen suspendoituneiden hiukkasten virtauksen tutkimiseen tunnetaan Euler-lähestymistavana.
Tämä lähestymistapa keskittyy enemmän tilavuuden todelliseen virtaukseen kuin yksittäisiin hiukkasiin. Tämä saavutetaan määrittelemällä virtaus tilan ja ajan funktiona ja myös määrittämällä virtaukseen liittyvät parametrit, kuten lämpötila.
Siten lähestymistavan pitoisuus on hiukkasten virtaus. Virtauksen havainnointi tehdään valitsemalla virtaustilavuudesta havaintopiste ja kiinnittämällä se.
Virtauksen parametrit tallennetaan kiinteän havaintopisteen kautta ja näiden parametriarvojen muutos kirjataan muistiin.
Tehdyt havainnot ekstrapoloidaan pitkin koko virtaustilavuutta virtauksen ominaisuuksien määrittämiseksi. Tätä lähestymistapaa käytetään siten enimmäkseen kaasumaisten virtaushiukkasten tai vakiovirtausympäristöissä suspendoituneiden mikrohiukkasten virtausominaisuuksien määrittämiseen.
Tätä menetelmää käytetään muita matemaattisia formulaatioita yleisemmin mikrohiukkasten epävakaan hajoamisen tutkimiseen. Koska virtauskuviot muuttuvat jatkuvasti, tarvitaan satoja iteraatioita matemaattisen mallin luomiseen tällä menetelmällä.
Mikä on Lagrangian?
Lagrangin lähestymistapa on matemaattinen muotoilu, jota käytetään tilavuuden virtausominaisuuden tutkimiseen. Koostumuksen teki Louis Lagrange.
Lagrangian menetelmän mukaan virtaustilavuus muodostuu suuresta määrästä hiukkasia. Näin ollen nestevirtauksen ominaisuudet lasketaan ymmärtämällä yksittäisten hiukkasten virtausparametrit.
Lähestymistapa suoritetaan valitsemalla virtaustilavuudesta yksi hiukkanen ja kiinnittämällä se hiukkaseen. Hiukkaselle määrätään virtauksen ominaisuudet, kuten liikkeen suunta ja nopeus.
Hiukkasen liike tallennetaan ja parametristen suureiden muutokset kirjataan muistiin. Virtauksen parametrien muuttuessa eri paikoissa, hiukkasen havaintoja tehdään eri kohdissa läpi virtaustilavuuden.
Näin eri havaintoja kirjataan virtaustilavuuden eri kohdissa ja lasketaan hiukkasen virtauksen ominaisuuksien muutos. Nämä muutokset ekstrapoloidaan koko virtaustilavuudelle nestevirtauksen luonteen määrittämiseksi.
Tätä menetelmää ei käytetä yhtä laajalti kuin Eulerin menetelmää havainnoinnin edellyttämän asettamisen vaikeuden vuoksi. Tämä menetelmä on myös altis virheille, koska tällaisia pieniä havaintoja on vaikea tehdä fyysisesti.
Tärkeimmät erot Eulerian ja Lagrangian välillä
Johtopäätös
Mikrokokoisia hiukkasia sisältävien ongelmien ratkaisemiseen tarvittavat matemaattiset formulaatiot eroavat normaaleista matemaattisista menetelmistä.
Sekä Eulerian että Lagrangin matemaattiset menetelmät analysoivat ja etsivät ratkaisuja tällaisiin olosuhteisiin. Niitä käytetään ratkaisemaan pienistä hiukkasista koostuvan nesteen virtausongelmia, kuten kaasumaisia virtausjärjestelmiä.
Eulerin matemaattista mallia käytetään yleisemmin kuin Lagrangin mallia, koska se ei ole yhtä altis virheille ja on myös helppo suorittaa kontrolloidussa ympäristössä.
Lagrangin menetelmä on monimutkaisempi ja vaatii paljon tarkkuutta havaintojen tekemiseen ja tehtyjen havaintojen laskemiseen. Siten menetelmä on altis virheille.
Viitteet
www.sciencedirect.com/science/article/pii/004578259290042I
www.sciencedirect.com/science/article/pii/0021999174900515
