Kartioleikkaus on käyrä, joka saadaan, kun taso leikkaa kartion tietyssä kulmassa. Kartioleikkauksia on kolmenlaisia - ellipsi, paraabeli ja hyperbola.
Ellipsi on tasomainen käyrä, jossa on kaksi polttopistettä ja joka muistuttaa jossain määrin ympyrää. Paraabeli ja hyperbola ovat kuitenkin hämmentäviä osia.
Paraabeli vs hyperbola
Ero paraabelin ja hyperbolin välillä on, että paraabeli on yksi avoin käyrä, jonka epäkeskisyys on yksi, kun taas hyperabelissa on kaksi käyrää, joiden epäkeskisyys on suurempi kuin yksi.
Paraabeli on yksi avoin käyrä, joka ulottuu äärettömään. Se on U-muotoinen ja siinä on yksi kohdistus ja yksi suunta.
Hyperbola on avoin käyrä, jossa on kaksi erillistä haaraa. Siinä on kaksi polttopistettä ja kaksi suuntaa, yksi jokaiselle haaralle.
Paraabelin ja hyperabelin vertailutaulukko (taulukkomuodossa)
| Vertailuparametri | Paraabeli | Hyperbeli |
|---|---|---|
| Määritelmä | Paraabeli on niiden pisteiden paikka, jotka ovat yhtä kaukana polttopisteestä ja suunnasta. | Hyperbola on niiden pisteiden paikka, joilla on jatkuva ero kahdesta polttopisteestä. |
| Muoto | Paraabeli on avoin käyrä, jossa on yksi fokus ja yksi suuntaviiva. | Hyperbola on avoin käyrä, jossa on kaksi haaraa ja jossa on kaksi polttopistettä ja kaksi suuntaa. |
| Epäkeskisyys | Paraabelin ei-negatiivinen epäkeskisyys on yksi. | Hyperbolin ei-negatiivinen epäkeskisyys e on suurempi kuin yksi. |
| Lentokoneen risteys | Tason leikkauspiste on yhdensuuntainen (ihanteellinen tapaus) kartion vinon korkeuden kanssa. | Tason leikkauspiste on yhdensuuntainen (ihanteellinen tapaus) kaksoiskartion kohtisuoran korkeuden kanssa. |
| Yleinen yhtälö | Paraabelin yleinen yhtälö on y = ax², a ≠ 0 | Hyperbolin yleinen yhtälö on x²/a² – y²/b² = 1 |
Mikä on Parabola?
Paraabeli on kaikkien niiden pisteiden paikka, jotka ovat yhtä kaukana pisteestä ja suorasta. Tätä pistettä kutsutaan kohdistukseksi ja tätä linjaa kutsutaan suuntaviivaksi.
Paraabeli muodostuu, kun taso leikkaa kartion suuntaan, joka on yhdensuuntainen (ihanteellinen tapaus) sen vinon korkeuden kanssa.
Paraabelin yleinen yhtälö on annettu muodossa
y = ax², a ≠ 0
A:n arvo määrittää käyrän muodon.
Jos a > 0, paraabelin suu aukeaa ylöspäin.
Jos < 0, paraabelin suu avautuu pohjaan.
Yllä olevan paraabelin fokus on (0, 1/4a). Suuntaviiva on (-1/4a).
Kuitenkin, kun a = 1, paraabelia kutsutaan yksikköparaabeliksi.
Paraabelin epäkeskisyys on yksi.
Paraabeli on symmetrinen akselinsa suhteen. Äärettömällä etäisyydellä käyrät näkyvät yhdensuuntaisina viivoina.
Mikä on Hyperbola?
Hyperbola on kaikkien niiden pisteiden sijainti, joilla on jatkuva ero kahdesta erillisestä pisteestä. Näitä pisteitä kutsutaan hyperbelin polttopisteiksi.
Hyperboli muodostuu, kun kiinteä taso leikkaa kartion suunnassa, joka on yhdensuuntainen sen kohtisuoran korkeuden kanssa.
Hyperbolin yleinen yhtälö on annettu muodossa
(x-α) ²/a² – (y-β)²/b² = 1
Yllä olevan hyperbolin polttopisteet ovat (α ± sqrt(a²+b²), β).
Huiput ovat (±a, β).
Hyperbolan epäkeskisyys on suurempi kuin yksi.
Hyperbolalla on kaksi symmetria-akselia. Nämä ovat poikittaisakseli ja konjugaattiakseli.
Tärkeimmät erot paraabelin ja hyperbolan välillä
Paraabeli ja hyperboli ovat kartioleikkauksia. Niillä on erilaisia muotoja ja ominaisuuksia.
Tärkeimmät erot näiden kahden välillä ovat:
Johtopäätös
Kartioleikkaukset koostuvat ellipseistä, paraabeleista ja hyperboleista. Niitä kutsutaan kartioleikkauksiksi, koska ne on johdettu kartion ja tason leikkauspisteestä. Paraabelit ovat yksi ääretön käyrä. Ne ovat pisteiden paikat yhtä kaukana fokuksesta ja suunnasta.
Hyperbolat ovat käyriä, joissa on kaksi haaraa. Ne ovat pisteiden paikat, joilla on jatkuva etäisyysero kahdesta polttopisteestä. Ero on niiden eksentrisyydessä. Paraabelien epäkeskisyys on yksi, kun taas hyperbolien epäkeskisyys on suurempi kuin yksi.
Paraabeleilla on erilaisia sovelluksia tosielämässä. Niitä käytetään arkkitehtuurissa, suunnittelussa, avaruusalusten suunnittelussa, heijastimissa ja holografisissa kalvoissa. Hyperbolat ovat suosittuja radiotekniikassa, satelliittisuunnittelussa, objektiiveissa, tietokoneissa ja aurinkokelloissa. Itse asiassa universumimme on hyperbolin muodossa.
