Vektorialgebra on olennainen osa fysiikkaa ja matematiikkaa. Se yksinkertaistaa laskelmia ja auttaa analysoimaan monenlaisia tilakäsitteitä. Vektori on fysikaalinen suure, jolla on sekä suuruus että suunta. Sen vastine on skalaarisuure, jolla on vain suuruus, mutta ei suuntaa.
Vektoria voidaan käsitellä kahdella perusoperaatiolla. Nämä operaatiot ovat pistetulo ja ristitulo, ja niillä on suuria eroja.
Pistetuote vs. ristiintuote
Ero pistetulon ja kahden vektorin ristitulon välillä on se, että pistetulon tulos on skalaarisuure, kun taas ristitulon tulos on vektorisuure.
Kahden vektorin pistetuloa kutsutaan myös skalaarituloksi. Se on kahden vektorin suuruuden ja niiden muodostaman kulman kosinin tulo.
Kahden vektorin ristituloa kutsutaan myös vektorituloksi. Se on kahden vektorin suuruuden ja niiden muodostaman kulman sinin tulo.
Pistetuotteen ja ristituotteen vertailutaulukko (taulukkomuodossa)
| Vertailuparametri | Pistetuote | Ristituote |
|---|---|---|
| Yleinen määritelmä | Pistetulo on vektorien suuruuden ja niiden välisen kulman cos:n tulo. | Ristitulo on vektorien suuruuden ja niiden kulman sinin tulo, jonka ne kohdistavat toisiinsa. |
| Matemaattinen suhde | Kahden vektorin A ja B pistetulo esitetään seuraavasti: Α.Β = ΑΒ cos θ | Kahden vektorin A ja B ristitulo esitetään seuraavasti: Α × Β = ΑΒ sin θ |
| Tuloksena | Vektorien pistetulon resultantti on skalaarisuure. | Vektorien ristitulon resultantti on vektorisuure. |
| Vektorien ortogonaalisuus | Pistetulo on nolla, kun vektorit ovat ortogonaalisia (θ = 90°). | Ristitulo on maksimi, kun vektorit ovat ortogonaalisia (θ = 90°). |
| Kommutatiivisuus | Kahden vektorin pistetulo noudattaa kommutatiivista lakia: A. B = B. A | Kahden vektorin ristitulo ei noudata kommutatiivista lakia: A × B ≠ B × A |
Mikä on pistetuote?
Kahden vektorin pistetulo tai skalaaritulo on niiden suuruuden ja kulman kosinin tulo, jonka toinen vektori rajoittaa toiseen. Sitä kutsutaan myös sisätuotteeksi tai projektiotuotteeksi.
Se on edustettuna seuraavasti:
A·Β = |A| |B| cos θ
Tuloksena on skalaarisuure, joten sillä on vain suuruus, mutta ei suuntaa.
Otamme kulman kosinin pistetulon laskemiseen niin, että vektorit ovat samassa suunnassa. Tällä tavalla saamme yhden vektorin projektion toisen päälle.
Vektoreille, joiden ulottuvuus on n, pistetulo saadaan seuraavasti:
A·Β = Σ α¡b¡
Pistetuotteella on seuraavat ominaisuudet:
Α· b = b·α
Α· (b+c) = α·b + α·c
(λα) · (μb) = λμ (α· b)
Pistetuotteella on seuraavat sovellukset:
Sitä käytetään pisteen projektion etsimiseen tasossa, kun sen koordinaatit tunnetaan.
Mikä on Cross Product?
Kahden vektorin ristitulo tai vektoritulo on niiden suuruuden ja kulman sinin tulo, joka on rajoittunut toistensa päälle. Sitä kutsutaan myös suunnatun alueen tuotteeksi.
Se on edustettuna seuraavasti:
A×Β = |A| |B| sin θ
Tuloksena on toinen vektorisuure. Tuloksena oleva vektori on kohtisuorassa molempiin vektoreihin nähden. Sen suunta voidaan määrittää oikean käden säännöllä.
Seuraavat säännöt on pidettävä mielessä ristituloa laskettaessa:
Missä I, j ja k ovat yksikkövektorit x-, y- ja z-suunnassa.
Ristituotteella on seuraavat ominaisuudet:
a× b = – (b × α)
a × (b+c) = α × b + α × c
(λα) × (b) = λ (α × b)
Ristituotteella on seuraavat sovellukset:
Tärkeimmät erot pistetuotteen ja ristituotteen välillä
Pistetulo ja ristitulo mahdollistavat laskelmat vektorialgebrassa. Niillä on erilaisia sovelluksia ja erilaisia matemaattisia suhteita.
Tärkeimmät erot näiden kahden välillä ovat:
Johtopäätös
Vektorialgebralla on suuri apu useissa matemaattisissa aineissa. Sen käyttö on hyvin yleistä geometriassa ja sähkömagnetiikassa. Vektorien pistetulo ja ristitulo ovat vektorialgebran perusoperaatioita. Niillä on useita sovelluksia. Pistetulo laskee skalaarisuureen. Tämä määrä on yleensä etäisyys tai pituus.
Ristitulo laskee vektorisuureen. Joten saamme toisen vektorin avaruuteen. Voimme suorittaa vektoreille operaatioita, kuten yhteen-, vähennys- ja kertolaskuja. Siirtymä, nopeus ja kiihtyvyys ovat yleisiä vektoreita fysiikassa.
Vektorin käsite kehittyi yli 200 vuotta sitten. Siitä lähtien se on kukoistanut monien matemaatikoiden ja tiedemiesten panoksen ansiosta.
