Johdannaiset sisältyvät differentiaaliyhtälöihin. Ne edustavat muuttujien muutosnopeutta. Kun riippumaton muuttuja muuttuu, on huomioitava riippuvaisessa muuttujassa tuotettu vastaava muutos. Johdannaiset kuvaavat tätä muutosnopeutta tutkimalla funktion kaltevuutta kaaviossa.
Differentiaali vs johdannainen
Ero differentiaalin ja derivaatan välillä on kunkin suorittaman toiminnon ja kunkin edustaman arvon suhteen. Differentiaalit edustavat pienimpiä eroja määrissä, jotka ovat muuttuvia kuten kappaleen pinta-ala. Se mahdollistaa riippumattoman ja riippuvan muuttujan välisen suhteen laskemisen yhtälössä.
Differentiaalin ja johdannaisen vertailutaulukko
| Vertailuparametrit | Differentiaalit | Johdannaiset |
| Määritelmä | Differentiaalit edustavat pienintä vaihtelevien määrien eroista. | Johdannaiset edustavat differentiaaliyhtälön muuttujien muutosnopeutta. |
| Ero laskettu | Lineaarinen ero lasketaan. | Kuvaajan kaltevuus tietyssä pisteessä lasketaan. |
| Suhde | Differentiaaliyhtälöt käyttävät johdannaisia päästäkseen lopullisiin ratkaisuihin. Johdannaiset sisältyvät differentiaaliyhtälöihin. | Johdannaiset merkitsevät yksinkertaisesti riippuvan muuttujan muutosnopeutta riippumattomaan muuttujaan nähden. |
| Toiminnalliset konnotaatiot | Toiminnallisia konnotaatioita muuttujien välillä ei tunneta | Muuttujien väliset toiminnalliset konnotaatiot tunnetaan. |
| Edustaja | Differentiaaliyhtälöt esitetään monilla kaavoilla. Yksi yleisesti käytetyistä on: dy/dx = f(x) | On olemassa eriasteisia johdannaisia, joilla on erilaisia esityskaavoja. Yleisimmin käytetty derivaatan kaavaesitys on: d /dx |
Mikä on differentiaali?
Laskennan osakenttänä differentiaaliyhtälöt edustavat äärettömän pientä eroa tietyissä vaihtelevissa suureissa. Differentiaaliyhtälöt sisältävät derivaattoja ja niiden funktioita. Differentiaalit mittaavat riippumattoman muuttujan muutoksen lineaarista liikerataa riippumattoman muuttujan määrän muuttamisen seurauksena.
On olemassa useita erilaisia differentiaaliyhtälöitä, joiden järjestys ja matemaattinen monimutkaisuusaste vaihtelevat. Differentiaaliyhtälöitä käytetään kuvaamaan lämpöaaltojen liikettä, väestömäärän muutosta, radioaktiivisen aineen hajoamista, sähkön liikettä, heilurin liikettä jne.
Pohjimmiltaan differentiaaliyhtälöt tarkoittavat kahden muuttujan välistä suhdetta, jossa toisen muuttujan muutos laukaisee toisen muuttujan aiheuttama muutos. Se on metodologinen työkalu funktioiden derivaattojen laskemiseen. Siksi se on esitysyhtälö. Differentiaaliyhtälöt esitetään usein seuraavasti:
Missä b on riippuvainen ja a riippumaton muuttuja.
Mikä on johdannainen?
Yksinkertaisimmillaan johdannaisilla tarkoitetaan muuttujien muutosnopeutta, kun riippumattomaan muuttujaan kirjataan muutos ja riippuvaan muuttujaan tuotetaan vastaava muutos. Näin ollen se korostaa tulostuksen muutosta, joka johtuu syöttöarvon muutoksesta.
Johdannaisia käytetään yleisimmin differentiaaliyhtälöiden kanssa. Differentiointi on prosessi, jota käytetään johdannaisten löytämiseen. Niitä käytetään merkitsemään tangenttiviivan kaltevuutta. Tietyn ajanjakson sisällä derivaatat mittaavat funktion kaltevuuden jyrkkyyttä.
Aivan kuten differentiaalit, derivaatat voidaan myös luokitella ensimmäisen ja toisen kertaluvun johdannaisiksi. Edellinen voidaan ennustaa suoraan viivan kaltevuuden perusteella, kun taas jälkimmäinen ottaa huomioon kaavion koveruuden.
Ne ovat tärkeä osa matemaattisia laskelmia. Usein kaltevuus esitetään seuraavasti:
d/dx
Esimerkiksi johdannainen määritellään b:n muutosnopeudeksi suhteessa a:hen. Tämä suhde ilmaistaan muodossa b= f(a), missä b on a:n funktio. Tämän funktion arvo luo f(a:n) kulmakertoimen. Tieteelliset tutkijat käyttävät usein johdannaisia differentiaaliyhtälöissä mitatakseen muuttujien arvon muutoksia voidakseen ennustaa ytimekkäästi muuttuvien järjestelmien käyttäytymistä.
Tärkeimmät erot differentiaalien ja johdannaisten välillä
- Suurin ero differentiaalien ja derivaattojen välillä on niiden määritelmissä, jotka siten vaikuttavat niiden toimivuuteen matemaattisella alueella. Edellinen on laskennan alialue, joka merkitsee joidenkin vaihtelevien suureiden äärettömän pientä eroa. Johdannaiset taas viittaavat lähtöarvon muutokseen, joka johtuu vastaavasta syöttöarvon muutoksesta. Se osoittaa tämän muutoksen nopeuden.
- Differentiaaliyhtälöt sisältävät derivaattoja tai johdannaisten funktioita. Sen sijaan johdannaiset viittaavat yksinkertaisesti välittömään muutokseen, joka tapahtuu riippumattoman muuttujan muutoksen yhteydessä, joka tuottaa vastaavan muutoksen riippuvan muuttujan arvossa.
- Riippuvien ja riippumattomien muuttujien välinen funktionaalinen konnotaatio tunnetaan derivaatan tapauksessa ja tuntematon differentiaalin tapauksessa. Tämä on toinen tärkeä ero näiden kahden matemaattisen käsitteen välillä.
- Differentiaali- ja derivaattayhtälön kaavat ovat myös merkittävästi erilaisia. dy/dx = f(x) edustaa edellistä, missä y on riippuvainen ja x riippumaton muuttuja. Johdannaisia edustaa d/dx.
- Differentiaalit edustavat todellisen arvon muutosta lineaarisen kartan kautta, kun taas derivaatat edustavat samaa muutosta kaltevuuskartan kautta. Johdannaiset laskevat funktion kaltevuuden kaaviossa minä tahansa ajankohtana.
Johtopäätös
Sekä differentiaalit että derivaatat ovat merkittäviä matemaattisia käsitteitä, jotka ovat välttämättömiä monimutkaisten matemaattisten ongelmien soveltamisessa ja tutkimisessa. Niitä molempia käytetään usein yhdessä toistensa kanssa, ja ne voidaan usein tulkita väärin - jos niiden merkitykset tai toiminnot jäävät epäselväksi.
Erot näiden kahden käsitteen välillä ovat minimaalisia, mutta samalla tärkeitä tiedostettava. Nämä kaksi käsitettä eroavat toisistaan toteutuksen ja yhtälöiden käytön suhteen. Vaikka differentiaaliyhtälö sisältää derivaattoja tai derivaattojen funktioita, derivaatat ovat riippuvaisessa muuttujassa tapahtuvan välittömän muutoksen mitta, joka laukaisee vastaava muutos riippumattomassa muuttujassa.
Differentiaalit edustavat kahden muuttujan välistä suhdetta. He käyttävät johdannaisia tämän suhteen selkeästi määrittelemiseen ja äärettömän pienten muutosten mittaamiseen.
Jokaisen esitys eroaa huomattavasti. Lisäksi differentiaalit kartoittavat todellisen arvon muutoksen lineaarisen kartoituksen avulla, kun taas derivaatat kartoittavat muutoksen kaltevuuden. Jokainen konsepti sisältää myös merkittäviä muuttuvia muotoja.
Viitteet
- https://ieeexplore.ieee.org/abstract/document/8579172/
- https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.4169/074683410X480195
